Métodos avanzados de análisis RAM: Simulación Monte Carlo

Introducción

Para sistemas complejos utilizados en la industria ferroviaria, espacial y aeronáutica, los métodos básicos de análisis (FMECA, RBD, FTA, etc.) de fiabilidad, disponibilidad y mantenibilidad (RAM) y la posterior toma de decisiones pueden no ser suficientes en algunas ocasiones. 

En este capítulo presentamos una de las técnicas avanzadas más utilizadas para modelar sistemas complejos: la SIMULACIÓN MONTE CARLO. 

El desarrollo real de los métodos de Monte Carlo se realizó en el ámbito del famoso Proyecto Manhattan durante la Segunda Guerra Mundial y la investigación para el desarrollo de armas nucleares. En particular, se utilizaron estos métodos probabilísticos para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales.

Los sistemas complejos se caracterizan por tener un número alto de estados del sistema, tasas de reparación y fallas no constantes (envejecimiento de los componentes), dependencia alto del estado de sus componentes, estrategias de mantenimiento complejos (repuestos, prioridad, recursos limitados), etc. Frente a estos sistemas los enfoques analíticos se vuelven imprácticos:

• Representaciones aproximadas que no se ajusta al sistema real,
• Tiempo excesivo para el desarrollo del modelo analítico,
• Incluso total inviabilidad de análisis.

Frente a estas situaciones una de las estrategias para el análisis RAM es la simulación Monte Carlo como herramienta de análisis de sistemas complejos, por su capacidad de lograr una mayor adherencia a la realidad. La Simulación de Monte Carlo puede ayudarnos a superar con éxito nuestros retos de análisis RAM.

De forma simplificada, la simulación de Monte Carlo es una técnica de simulación estocástica en la que se obtienen múltiples resultados independientes de un sistema modelado, resolviendo repetidamente el modelo para valores (de entrada) muestreados aleatoriamente de las variables de entrada y eventos. La muestra de resultados así obtenida se trata estadísticamente para calcular el resultado que genera el sistema. 

Es decir, aplicar Monte Carlo implica ejecutar de forma iterativa "experimentos numéricos" para observar lo que sucede de forma media o promedio, en un gran número de ejecuciones de un modelo estocástico.

En el contexto de RAM, la simulación de Monte Carlo se utiliza en muchas aplicaciones, por ejemplo, para evaluar árboles de fallas (FTA) o modelos de Markov donde los tiempos de fallo de componentes individuales o, los tiempos que el sistema permanece en un estado dado siguen distribuciones arbitrarias, con el objetivo de encontrar el tiempo medio de funcionamiento entre fallos o la probabilidad de fallo dentro de un intervalo de tiempo dado.  

Además, la simulación de Monte Carlo se utiliza para estimar funciones de densidad acumulada en la evaluación de riesgos, por ejemplo, cuando la disponibilidad promedio dentro del período de garantía es crítica y se debe estimar un valor que solo se excede con una probabilidad determinada. Finalmente, la simulación de Monte Carlo es una metodología flexible que se puede aplicar cuando los cambios en el estado de un sistema ocurren en instantes de tiempo discretos, lo que permite modelar escenarios complejos de operación y mantenimiento. 

Un aspecto clave de la simulación Monte Carlo es la generación de valores aleatorios posibles de las entradas del sistema, las cuales se inyectan al modelo para producir las muestras de los resultados. Las entradas juegan un papel muy importante en la calidad de los resultados ya que la precisión de la solución depende del número de simulaciones que se pueden realizar y de la diversidad de las entradas insertadas en el modelo.

Es decir, de forma más estricta, podemos sentenciar que la teoría matemática establece que el error de una técnica de estimación de Monte Carlo debería disminuir proporcionalmente a la raíz cuadrada del número de intentos.

Ejemplo práctico: Estimación del valor π con granos de arroz

El método Monte Carlo para calcular el número π  funcionaría de la siguiente manera: dibujado el cuadrado y el círculo de forma concéntrica, empezaríamos de forma aleatoria (al azar) a tirar muchos granitos de arroz (uno detrás de otro) dentro del área limitada por el cuadrado. Después de este proceso, contaríamos el número de granitos de arroz que cayeron dentro del círculo (zona naranja) del número total de granitos tirados (el número total de granitos coincidiría con los granitos del área naranja más los granitos del área azul). El ratio de granitos del área naranja respecto al número total de granitos sería el mismo, que el ratio de las áreas, definidas por π /4. Por tanto, el número de granitos del área naranja divido por el número total de granitos y multiplicado por 4, nos daría la aproximación de π.

Los 4 pasos para la utilización del Simulación de Monte Carlo

1. Definir el dominio de posibles entradas. El "universo" simulado debe ser similar al universo cuyo comportamiento deseamos describir e investigar.
2. Generar entradas de forma aleatoria a partir de una distribución de probabilidad sobre el dominio: las entradas deben generarse de modo que sus características sean similares al universo real que estamos tratando de simular; en particular, las dependencias entre las entradas deben quedar representadas.
3. Cálculo de las salidas a partir de las entradas inyectadas. El cálculo debe ser determinista.
4. Agregar los resultados para obtener la salida de interés. Salidas típicas: histograma, resumen estadístico (media, desviación estándar...), intervalos de confianza, etc.
   

Claramente, las fortalezas de la simulación de Monte Carlo son su flexibilidad para tener en cuenta cualquier distribución de variables de entrada y proporcionar soluciones para sistemas complejos que no se prestan a soluciones analíticas, al tiempo que proporcionan una medida de la precisión de los resultados. 

Como hemos explicado en este artículo, los métodos Monte Carlo son una alternativa simple y conveniente que no pueden resolverse analíticamente, pudiendo esta ser la única manera de estimar el resultado de interés. Sin duda estos métodos se basan en la velocidad computacional de los ordenadores y su capacidad para generar números pseudoaleatorios a partir de diversas distribuciones de probabilidad relevantes. 

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